Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaargh....
Eure Mathelehrer haben teilweise scheinbar ganze Arbeit geleistet...
1/3 ist keine Annäherung, sondern exakt. 0,Periode3 ist auch keine Annäherung, sondern exakt. Diese Zahl ist unendlich lang, daher schreibt man das ja normalerweise mit der 3 mit dem Strich obendrüber: man kann nicht unendlich viele Ziffern hinschreiben. Bloss weil man sie nicht hinschreiben kann heisst das aber nicht, das sie nicht da sind.
0,Periode9 ist 1. Es ist exakt das gleiche, der Unterschied ist 0 (genau!). Nicht infinitesimal klein. Das sind nur 2 unterschiedliche Schreibweisen für ein und denselben Punkt auf der Zahlengeraden (oder Zahlenstrahl, -ebene, -raum oder was auch immer man benutzt).
(Der Doppelpunkt soll hier Division bedeuten...)
Die Begründung von Penthesilea ist genau richtig:
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1 : 3 = 1/3 (das ist offensichtlich: der Bruchstrich deutet ja nur die Division an)
3*(1:3) = 1 (auch offensichtlich)
<=> 3 * (1/3) = 1
<=> 3 * 0,Periode3 = 1
Fehlt ganz strenggenommen noch ein Argument, dass 1/3 = 0,Periode3 ist (d.h. es existiert kein noch so kleiner Unterschied):
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1:3 = 0,3*3 + 0,1
0,1:3 = 0,03 + 0,01
0,01:3 = 0,003 + 0,001
usw. es bleibt also jedesmal ein Rest. Wenn man das nun nur endlich oft macht (zehn, hundert, tausend, oder hunderttausend millionen-fach), dann bleibt immer ein (immer kleiner werdender) Rest. Deshalb macht man das unendlich oft. Man hört nie damit auf. Damit bleibt kein Rest übrig, da man den entstehenden Rest ja immer wieder teilt. (Der letzte Satz ist das entscheidende Konzept). Der Rest bleibt also nur, wenn man irgendwann aufhört zu dividieren. In der Mathematik ist man aber nicht auf die Endlichkeit beschränkt.
Wenn das nicht so wäre könnte man die gesamte Mathematik wegwerfen. Offensichtlichste Konsequenz: Multiplikation und Division ergeben unterschiedliche Ergebnisse, je nachdem , ob man in den rationalen Zahlen (Brüche) oder in den reellen Zahlen rechnet, obwohl die rationalen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind:
Hier ein- und dieselbe Rechnung in jeweils dem einen oder dem anderen Zahlenraum. Rationale Rechnung ist mit (Q), die reellen Rechnungen sind mit (R) gekennzeichnet.
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(Q) 1 : 3 = 1/3 (ein Drittel)
(R) 1 : 3 = 0,Periode3
(Q) 1/3 * 3 = 1
(R) 0,Periode3 * 3 = 0,Periode9
Da Q aber eine (echte) Teilmenge von R ist (alle Zahlen in Q sind auch in R, aber nicht umgekehrt), muss man alle Zahlen, die in den (Q) Rechnungen vorkommen durch ihre R Pendante austauschen können:
Wenn 0,Periode9 nicht genau gleich 1 wäre, welche Rechnung sollte die "richtige" sein?
Warum müssen die Ergebnisse überhaupt identisch sein? Weil R bzw. Q zusammen mit +,* einen Körper bilden. - und / sind nicht erforderlich, weil a-b = a+(-b) und a/b = a* (1/b), wobei die Existenz der Inversen (-b und 1/b) in R und Q einfach zu zeigen ist. Da diese Konstruktion einen Körper bildet, ist R bzw. Q und + eine abelsche Gruppe bilden (die Operation muss kommutativ sein, also a+b=b+a) und R ohne {0} bzw. Q ohne {0} bildet mit der Multiplikation ebenfalls eine abelsche Gruppe. In einer Gruppe existiert aber immer ein *
eindeutiges* Inverses zu jedem Element, was mit 2 unterschiedlichen Ergebnissen nicht mehr gelten würde.
Der Beweis (oder wenigstens ein sehr gutes Argument, da der Beweis doch etwas komplizierter ist), dass die o.a. Konstruktionen (Q,+,*) und (R,+,*) wirklich Körper sind findet man z.B. in H. Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 1, 12. Auflage, S.36ff. (Teubner Verlag).
Hat wirklich irgendwer bis hierhin gelsen?
Patrick (a.k.a. der Klugscheisser
)
[edit] Nachsatz: der erste, der jetzt mit dem "Taschenrechner" oder "Computer" Beweis kommt, möge sich einmal folgendes überlegen:
wenn man in floating Point rechnet ist schon 1/10 nicht gleich 0,1, weil 1/10 im binär System unendlich viele Stellen hat...[/edit]
P
